%!TEX program = xelatex
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\usepackage{ctex} % 中文支持
\usepackage{amsmath, amsthm, amssymb, bm} % 数学公式与符号
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\usepackage{hyperref}
\usepackage{booktabs} % 用于高质量表格
\usepackage{tikz} % 可选：用于绘图
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

% 主题设置（推荐简洁风格）
\usetheme{Madrid}
\usecolortheme{default} % 可选：seahorse, beaver, dolphin 等

% 自定义定理样式
\setbeamertemplate{theorems}[numbered]
\newtheorem{mydefinition}{定义}
\newtheorem{mytheorem}{定理}
\newtheorem{mylemma}{引理}
\newtheorem{mycorollary}{推论}
\newtheorem{myexample}{例}

% 信息设置
\title[毕业论文答辩]{偏微分方程数值解法在金融衍生品定价中的应用}
\author[张三]{张三}
\institute[XX大学]{XX大学\quad 数学与统计学院\quad 数学与应用数学专业}
%\date{2025年6月}

\begin{document}

% 封面页
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

% 目录页
\begin{frame}{目录}
  \tableofcontents
\end{frame}

% 第一章：研究背景与意义
\section{研究背景与意义}

\begin{frame}{研究背景}
  \begin{itemize}
    \item 金融衍生品（如期权）的定价是金融数学的核心问题之一。
    \item Black-Scholes 模型将期权定价问题转化为一个抛物型偏微分方程：
      $$
      \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0
      $$
    \item 解析解仅在特定条件下存在，多数情况需依赖数值方法。
  \end{itemize}
\end{frame}

% 第二章：理论基础
\section{理论基础}

\begin{frame}{Black-Scholes 模型}
  \begin{block}{模型假设}
    \begin{itemize}
      \item 标的资产价格服从几何布朗运动
      \item 无风险利率 $r$ 和波动率 $\sigma$ 为常数
      \item 市场无套利、无摩擦
    \end{itemize}
  \end{block}

  \begin{mytheorem}[期权价格的PDE]
    在上述假设下，欧式期权价格 $V(S,t)$ 满足：
    $$
    \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0
    $$
  \end{mytheorem}
\end{frame}

\begin{frame}{有限差分法简介}
  \begin{itemize}
    \item 将时间与空间离散化，用差商近似偏导数。
    \item 常用格式：
      \begin{itemize}
        \item 显式格式（Explicit）：条件稳定
        \item 隐式格式（Implicit）：无条件稳定
        \item Crank-Nicolson 格式：二阶精度，无条件稳定
      \end{itemize}
  \end{itemize}

  \begin{myexample}
    对时间导数使用前向差分，空间导数使用中心差分，可得显式格式。
  \end{myexample}

\end{frame}

% 第三章：数值实验
\section{数值实验}

\begin{frame}{数值模拟设置}
  \begin{itemize}
    \item 标的资产初始价格 $S_0 = 100$
    \item 执行价格 $K = 100$
    \item 到期时间 $T = 1$ 年
    \item 无风险利率 $r = 0.05$
    \item 波动率 $\sigma = 0.2$
    \item 空间步长 $\Delta S = 1$，时间步长 $\Delta t = 0.01$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{数值结果对比}
  \begin{table}
    \centering
    \caption{不同方法计算的欧式看涨期权价格（$S_0=100$）}
    \begin{tabular}{lcc}
      \toprule
      方法 & 数值解 & 与解析解误差 \\
      \midrule
      显式格式 & 10.452 & 0.018 \\
      隐式格式 & 10.461 & 0.009 \\
      Crank-Nicolson & 10.468 & 0.002 \\
      解析解（Black-Scholes） & 10.470 & — \\
      \bottomrule
    \end{tabular}
  \end{table}
\end{frame}


\begin{frame}{数值结果图像}
\centering
%  \includegraphics[width=0.6\textwidth]{example-image} % 替换为你的图像路径
\end{frame}



% 第四章：总结与展望
\section{总结与展望}

\begin{frame}{研究总结}
  \begin{itemize}
    \item 本文实现了基于有限差分法的期权定价数值模拟。
    \item Crank-Nicolson 格式精度最高，稳定性好。
    \item 数值结果与解析解高度吻合。
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{未来展望}
  \begin{itemize}
    \item 推广到美式期权（含自由边界问题）
    \item 使用有限元法或谱方法提高高维问题效率
    \item 结合机器学习加速求解过程
  \end{itemize}
\end{frame}

% 致谢页
\begin{frame}{致谢}
  \centering
  \Huge 感谢各位老师聆听！\\[1em]
  \large 恳请批评指正！
\end{frame}

% 参考文献（可选）
\begin{frame}[allowframebreaks]{参考文献}

  \begin{thebibliography}{99}
    \bibitem{bs} Black, F., \& Scholes, M. (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities. \emph{Journal of Political Economy}, 81(3), 637–654.
    \bibitem{wilmott} Wilmott, P. (2006). \emph{Paul Wilmott on Quantitative Finance}. Wiley.
    \bibitem{strikwerda} Strikwerda, J. C. (2004). \emph{Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations}. SIAM.
  \end{thebibliography}

\end{frame}

\end{document}

